Sumy

Sumy potęg kolejnych liczb naturalnych

• Suma n pierwszych liczb naturalnych: $1+2+3+4+\dots +n=\sum _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}=s_1$

• Suma kwadratów n pierwszych liczb naturalnych: $1^2+2^2+3^2+4^2+\dots +n^2=\sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=s_2$

• Suma sześcianów n pierwszych liczb naturalnych: $1^3+2^3+3^3+4^3+\dots +n^3=\sum _{k=1}^n{k}^3={\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)}^2=(s_1{)}^2$

• Suma czwartych potęg n pierwszych liczb naturalnych: $\sum _{k=1}^n{k}^4=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}=s_4=s_2\cdot \frac{3n^2+3n-1}{5}$

• Suma piątych potęg n pierwszych liczb naturalnych: $\sum _{k=1}^n{k}^5=\frac{n^2(n+1{)}^2(2n^2+2n-1)}{12}=s_5=\frac{2n^6+6n^5+5n^4-n^2}{12}$

Sumy potęg kolejnych nieparzystych liczb naturalnych

• Suma n pierwszych nieparzystych liczb naturalnych: $1+3+5+\dots +(2n-1)=\sum _{k=1}^n(2k-1)=n^2={\sigma }_1$

• Suma kwadratów n pierwszych nieparzystych liczb naturalnych: $1^2+3^2+5^2+\dots +(2n-1{)}^2=\sum _{k=1}^n(2k-1{)}^2=\frac{n(4n^2-1)}{3}={\sigma }_2$

• Suma sześcianów n pierwszych nieparzystych liczb naturalnych: $1^3+3^3+5^3+\dots +(2n-1{)}^3=\sum _{k=1}^n(2k-1{)}^3={\sigma }_1(2n^2-1)$