Tablica pochodnych

Podstawowe wzory

• Niech $f,g,h:ℝ\to ℝ$ będą różniczkowalne na zbiorze otwartym $U$, zaś $c$ będzie stałą. Zachodzą wtedy poniższe wzory (poprawne również dla funkcji o argumentach i wartościach zespolonych):

Funkcja	Pochodna
$f\pm g$	$f^{\prime }\pm g^{\prime }$
$c\cdot f$	$c\cdot f^{\prime }$
$f\cdot g$	$f^{\prime }\cdot g+f\cdot g^{\prime }$
$f\cdot g\cdot h$	$f^{\prime }\cdot g\cdot h+f\cdot g^{\prime }\cdot h+f\cdot g\cdot h^{\prime }$
$\frac{f}{g}$	$\frac{f^{\prime }\cdot g-f\cdot g^{\prime }}{g^2}{}^{1)}$
$g\circ f=g(f)$	$(g^{\prime }\circ f)\cdot f^{\prime }=g^{\prime }(f)\cdot f^{\prime }{}^{2)}$
$\ln f$	$\frac{f^{\prime }}{f}$
$f^c$	$c\cdot f^{c-1}\cdot f^{\prime }$
$f^g$	$f^g(\frac{f^{\prime }g}{f}+g^{\prime }\ln f){}^{3)}$

${1)}^{}$ Iloraz jest funkcją różniczkowalną w zbiorze $\{x\in U:g(x)\ne 0\}$.
${2)}^{}$ W tym wypadku zakładamy, że $f$ jest różniczkowalna na $U$ oraz $g$ jest różniczkowalna na $f(U)$.
${3)}^{}$ $f>0$

Pochodne funkcji elementarnych

W tabelce poniżej x to zawsze zmienna, a wszystkie inne litery to stałe.

Funkcja	Pochodna	Uwagi
$c$	$0$
$x$	$1$
$x^n$	$n{x}^{n-1}$	$n\in ℝ\setminus \{1\}{}^{4)}$
$ax+b$	$a$
$a{x}^2+bx+c$	$2ax+b$
$\frac{a}{x}=a\cdot x^{-1}$	$-\frac{a}{x^2}=-1\cdot a\cdot x^{-2}$	$x\ne 0$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$
$\mathrm{tg}x$	${\sec }^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$	$x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$
$\mathrm{ctg}x$	$-{\csc }^{2}x=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$	$x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$
$\sec x$	$\mathrm{tg}x\sec x$	$x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$
$\csc x$	$-\mathrm{ctg}x\csc x$	$x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^x\ln a$	$a>0$
$x^x$	$x^x(1+\ln x)$	$x>0$
$\ln x$	$\frac{1}{x}$	$x>0$
${\log }_{a}x$	$\frac{1}{x\ln a}$
$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}x$	$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$|x|<1$
$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x$	$-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$|x|<1$
$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}x$	$\frac{1}{1+x^2}$
$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}x$	$-\frac{1}{1+x^2}$
$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}x$	$\frac{1}{x^2\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}$	$|x|>1$
$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{c}x$	$-\frac{1}{x^2\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}$	$|x|>1$
$\sqrt{x}$	$\frac{1}{2\sqrt{x}}$	$x>0$
$\sqrt[n]{x}$	$\frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}$	$x>0$
$\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$	$\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$
$\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$	$\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$
$\mathrm{tgh}x=\frac{\sinh x}{\cosh x}$	${\mathrm{sech}}^{2}x=\frac{1}{{\cosh }^{2}x}=\frac{4}{(e^x+e^{-x}{)}^2}$
$\mathrm{ctgh}x=\frac{\cosh x}{\sinh x}$	$-{\mathrm{csch}}^{2}x=-\frac{1}{{\sinh }^{2}x}=-\frac{4}{(e^x-e^{-x}{)}^2}$	$x\ne 0$
$\mathrm{sech}x=\frac{2}{e^x+e^{-x}}$	$-\mathrm{tgh}x\mathrm{sech}x$
$\mathrm{csch}x=\frac{2}{e^x-e^{-x}}$	$-\mathrm{ctgh}x\mathrm{csch}x$	$x\ne 0$
$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}x=\ln (x+\sqrt{x^2+1})$	$\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$
$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}x=\ln (x+\sqrt{x-1}\sqrt{x+1})$	$\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$	$x>1$
$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{g}\mathrm{h}x=\frac{1}{2}\ln \frac{1+x}{1-x}$	$\frac{1}{1-x^2}$	$|x|<1$
$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\mathrm{h}x=\frac{1}{2}\ln \frac{x+1}{x-1}$	$\frac{1}{1-x^2}$	$|x|>1$
$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}x=\ln (\sqrt{\frac{1}{x}-1}\sqrt{\frac{1}{x}+1}+\frac{1}{x})$	$\frac{-1}{x(x+1)\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}}{}^{5)}$	$x\in (0;1)$
$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}x=\ln (\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}+\frac{1}{x})$	$\frac{-1}{x^2\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{}^{5)}$	$x\ne 0$
$\ln (x+\sqrt{x^2\pm a^2})$	$\frac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}$

${}^{4)}$ Dla $n=1$ wzór jest też poprawny, ale z wyjątkiem punktu $x=0,$ w którym pochodna istnieje, ale podany wzór nie jest określony.

${}^{5)}$ W niektórych z powyższych wzorów możliwe są uproszczenia, ale dotyczą one tylko dziedziny rzeczywistej. Podane wzory działają natomiast także w dziedzinie zespolonej.